Производная функции одной переменной.
Введение.
Настоящие методические разработки предназначены для студентов факультета промышленное и гражданское строительство. Они составлены применительно к программе курса математики по разделу «Дифференциальное исчисление функций одного переменного».
Разработки представляют собой единое методическое руководство, включающее в себя: краткие теоретические сведения; «типовые» задачи и упражнения с подробными решениями и пояснениями к этим решениям; варианты контрольной работы.
В конце каждого параграфа дополнительные упражнения. Такая структура разработок делает их пригодными для самостоятельного овладения разделом при самой минимальной помощи со стороны преподавателя.
§1. Определение производной.
Механический и геометрический смысл
производной.
Понятие производной является одним из самых важных понятий математического анализа.Оно возникло еще в 17 веке. Формирование понятия производной исторически связано с двумя задачами: задачей о скорости переменного движения и задачей о касательной к кривой.
Эти задачи, несмотря на их различное содержание, приводят к одной и той же математической операции, которую нужно провести над функцией.Эта операция получила в математике специальное название. Она называется операцией дифференцирования функции. Результат операции дифференцирования называется производной.
Итак, производной функцииy=f(x)
в точкеx0 называется
предел (если он существует) отношения
приращения функции
к приращению аргумента
при
.
Производную принято обозначать
так:
.
Таким образом, по определению
Для обозначения производной употребляются
также символы
.
Механический смысл производной.
Если s=s(t)
– закон прямолинейного движения
материальной точки, то
есть скорость этой точки в момент времениt.
Геометрический смысл производной.
Если функция y=f(x)
имеет производную в точке,
то угловой коэффициент касательной к
графику функции в точке
равен
.
Пример.
Найдите производную функции
в точке=2:
1) Дадим точке
=2
приращение
.
Заметим, что.
2) Найдем приращение функции в точке =2:
3) Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
Найдем предел отношения при
:
.
Таким образом,
.
§ 2. Производные от некоторых
простейших функций.
Студенту необходимо научиться вычислять производные конкретных функций: y=x,y=и вообщеy=.
Найдем производную функции у=х.
т.е. (x)′=1.
Найдем производную функции
Производная
Пусть
тогда
Легко заметить закономерность в
выражениях производных от степенной
функции
приn=1,2,3.
Следовательно,
. (1)
Эта формула справедлива для любых действительных n.
В частности, используя формулу (1), имеем:
;
.
Пример.
Найдите производную функции
.
.
Данная функция является частным случаем функции вида
при
.
Используя формулу (1), имеем
.
Производные функций y=sin x и y=cos x.
Пусть y=sinx.
Разделим на ∆x, получим
Переходя к пределу при ∆x→0, имеем
Пусть y=cosx .
Переходя к пределу при ∆x→0, получим
;
.
(2)
§3. Основные правила дифференцирования.
Рассмотрим правила дифференцирования.
Теорема 1 . Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx,то в этой точке дифференцируема и их сумма, причем производная суммы равна сумме производных слагаемых: (u+v)"=u"+v".(3)
Доказательство: рассмотрим функцию y=f(x)=u(x)+v(x).
Приращению ∆x аргумента x соответствуют приращения ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) функций u и v. Тогда функция y получит приращение
∆y=f(x+∆x)-f(x)=
=--=∆u+∆v.
Следовательно,
Итак, (u+v)"=u"+v".
Теорема 2. Если функцииu=u(x) иv=v(x) дифференцируемы в данной точкеx, то в той же точке дифференцируемо и их произведение.При этом производная произведения находится по следующей формуле: (uv)"=u"v+uv". (4)
Доказательство: Пусть y=uv, где u и v – некоторые дифференцируемые функции от x. Дадим x приращение ∆x;тогда u получит приращение ∆u, v получит приращение ∆v и y получит приращение ∆y.
Имеем y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), или
y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.
Следовательно, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.
Отсюда
Переходя к пределу при ∆x→0 и учитывая, чтоuиvне зависят от ∆x, будем иметь
Теорема 3 . Производная частного двух функций равна дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель- разности между произведением производной делимого на делитель и произведением делимого на производную делителя, т.е.
Если
то
(5)
Теорема 4. Производная постоянной равна нулю, т.е. если y=C, где С=const, то y"=0.
Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если y=Cu(x), где С=const, то y"=Cu"(x).
Пример 1.
Найдите производную функции
.
Данная функция имеет вид
,
гдеu=x,v=cosx. Применяя правило
дифференцирования (4), находим
.
Пример 2.
Найдите производную функции
.
Применим формулу (5).
Здесь
;
.
Задачи.
Найдите производные следующих функций:
;
11)
2)
;
12)
;
3)
13)
4)
14)
5)
15)
6)
16)
7
)
17)
8)
18)
9)
19)
10)
20)
При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом
Тот
процесс, с помощью которого из данной
функции f(x)
получают новую функцию f
" (x)
,
называют дифференцированием
и состоит он из следующих трех шагов:
1)
даем аргументу x
приращение
x
и определяем соответствующее приращение
функции
y
= f(x+
x)
-f(x)
;
2)
составляем отношение
3)
считая x
постоянным, а
x
0,
находим
,
который обозначаем черезf
" (x)
,
как бы подчеркивая тем самым, что
полученная функция зависит лишь от того
значения x
,
при котором мы переходим к
пределу.
Определение
:
Производной
y " =f " (x)
данной
функции y=f(x)
при
данном x
называется предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при
условии, что приращение аргумента
стремится к нулю, если, конечно, этот
предел существует, т.е. конечен.
Таким
образом,
,
или
Заметим,
что если при некотором значении x
,
например при x=a
,
отношение
при
x
0
не стремится к конечному пределу, то в
этом случае говорят, что функция f(x)
при x=a
(или в точке x=a
)
не имеет производной или не дифференцируема
в точке x=a
.
2. Геометрический смысл производной.
Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x 0
f(x)
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x 0 , f (х 0)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x .
Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если
перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве
tgβ
=∆y/∆x,
то получим
илиtg
=f
"(x 0),
так как
-угол
наклона касательной к положительному
направлению оси Ох
,
по определению производной. Но tg
= k - угловой коэффициент касательной,
значит, k = tg
= f
"(x 0).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x 0 .
3. Физический смысл производной.
Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е.
Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0.
lim Vср (t) = (t 0) - мгновенная скорость в момент времени t 0 , ∆t → 0.
а lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (по определению производной).
Итак, (t) =x"(t).
Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f (x ) в точке x 0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x 0
Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.
(t) = x"(t) - скорость,
a(f) = "(t) - ускорение, или
Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:
φ = φ(t) - изменение угла от времени,
ω = φ"(t) - угловая скорость,
ε = φ"(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).
Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:
m = m(х) - масса,
x , l - длина стержня,
р = m"(х) - линейная плотность.
С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука
F = -kx, x – переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω 2 =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω 2 x(t) = 0,
где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m).
Уравнение вида у" + ω 2 y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция
у = Asin(ωt + φ 0) или у = Acos(ωt + φ 0), где
А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота,
φ 0 - начальная фаза.
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Производную приходится находить в ряде задач курса математического анализа. Например, при отыскании точек экстремума и перегиба графика функции.
Как найти?
Чтобы найти производную функции нужно знать таблицу производных элементарных функций и применять основные правила дифференцирования :
- Вынос константы за знак производной: $$ (Cu)" = C(u)" $$
- Производная суммы /разности функций: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
- Производная произведения двух функций: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
- Производная дроби : $$ \bigg (\frac{u}{v} \bigg)" = \frac{u"v - uv"}{v^2} $$
- Производная сложной функции : $$ (f(g(x)))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$
Примеры решения
Пример 1 |
Найти производную функции $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ |
Решение |
Производная суммы/разности функций равна сумме/разности производных: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ Используя правило производной степенной функции $ (x^p)" = px^{p-1} $ имеем: $$ y" = 3x^{3-1} - 2 \cdot 2 x^{2-1} + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Так же было учтено, что производная от константы равна нулю. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
Ответ |
$$ y" = 3x^2 - 4x + 7 $$ |
Понятие производной
Пусть функция f (x ) определена на некотором промежутке X. Придадим значению аргумента в точке x 0 Х произвольное приращение Δx так, чтобы точка x 0 + Δx также принадлежала X. Тогда соответствующее приращение функции f(x) составит Δу = f (x 0 + Δx ) - f (x 0 ).
Определение 1. Производной функции f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при Δx 0 (если этот предел существует).
Для обозначения производной функции употребимы символы у" (x 0 ) или f "(x 0 ):
Если в некоторой точке x 0 предел (4.1) бесконечен:
то говорят, что в точке x 0 функция f (x ) имеет бесконечную производную.
Если функция f (x ) имеет производную в каждой точке множества X, то производная f"(x) также является функцией от аргумента х, определенной на X.
Геометрический смысл производной
Для выяснения геометрического смысла производной нам понадобится определение касательной к графику функции в данной точке.
Определение 2. Касательной к графику функции у = f (x ) в точке М называется предельное положение секущей MN, когда точка N стремится к точке М по кривой f (x ).
Пусть точка М на кривой f (x ) соответствует значению аргумента x 0 , а точка N - значению аргумента x 0 + Δx (рис. 4.1). Из определения касательной следует, что для ее существования в точке x 0 необходимо, чтобы существовал предел , который равен углу наклона касательной к оси Оx . Из треугольника MNA следует, что
Если производная функции f (x ) в точке x 0 существует, то, согласно (4.1), получаем
Отсюда следует наглядный вывод о том, что производная f "(x 0 ) равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона к положительному направлению оси Ох) касательной кграфику функции у = f (x ) в точке М (x 0 , f (x 0 )). При этомуголнаклона касательной определяется из формулы (4.2):
Физический смысл производной
Предположим, что функция l = f (t ) описывает закон движения материальной точки по прямой как зависимость пути l от времени t. Тогда разность Δl = f(t + Δt) - f(t) - это путь, пройденный за интервал времени Δt , а отношение Δl /Δt - средняя скорость за время Δt . Тогда предел определяет мгновенную скорость точки в момент времени t как производную пути по времени.
В определенном смысле производную функции у = f(x) можно также трактовать как скорость изменения функции: чем больше величина f "(x ), тем больше угол наклона касательной к кривой, тем круче график f (x ) и быстрее растет функция.
Правая и левая производные
По аналогии с понятиями односторонних пределов функции вводятся понятия правой и левой производных функции в точке.
Определение 3. Правой (левой) производной функции у = f(x) в точке x 0 называется правый (левый) предел отношения (4.1) при Δx 0, если этот предел существует.
Для обозначения односторонних производных используется следующая символика:
Если функция f (x ) имеет в точке x 0 производную, то она имеет левую и правую производные в этой точке, которые совпадают.
Приведем пример функции, у которой существуют односторонние производные в точке, не равные друг другу. Это f (x ) = |x |. Действительно, в точке х = 0 имеем f’ + (0) = 1, f" - (0) = -1 (рис. 4.2) и f’ + (0) ≠ f’ - (0), т.е. функция не имеет производной при х = 0.
Операцию нахождения производной функции называют ее дифференцированием; функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой.
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке устанавливает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 1. Если функция дифференцируема в точке x 0 , то она и непрерывна в этой точке.
Обратное утверждение неверно: функция f (x ), непрерывная в точке, может не иметь производную в этой точке. Таким примером является функция у = |x |; она непрерывна в точке x = 0, но не имеет производной в этой точке.
Таким образом, требование дифференцируемости функции является более сильным, чем требование непрерывности, поскольку из первого автоматически вытекает второе.
Уравнение касательной к графику функции в данной точке
Как было указано в разделе 3.9, уравнение прямой, проходящей через точку М (x 0 , у 0 ) с угловым коэффициентом k имеет вид
Пусть задана функция у = f (x ). Тогда посколькуее производная в некоторой точке М (x 0 , у 0 ) является угловым коэффициентом касательной к графику этой функции в точке М, то отсюда следует, что уравнение касательной к графику функции f (x ) в этой точке имеет вид
Найти выражение для производной экспоненциальной функции \(y = {e^x}\), пользуясь определением производной.
Решение.
Начальные шаги являются стандартными: сначала запишем приращение функции \(\Delta y\), соответствующее приращению аргумента \(\Delta x\): \[ {\Delta y = y\left({x + \Delta x} \right) - y\left(x \right) } = {{e^{x + \Delta x}} - {e^x} } = {{e^x}{e^{\Delta x}} - {e^x} } = {{e^x}\left({{e^{\Delta x}} - 1} \right).} \] Производная вычисляется как предел отношения приращений: \[ {y"\left(x \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^x}\left({{e^{\Delta x}} - 1} \right)}}{{\Delta x}}.} \] Функция \(y = {e^x}\) в числителе не зависит от Δx и ее можно вынести за знак предела. Тогда производная принимает такой вид: \[ {y"\left(x \right) = {\left({{e^x}} \right)^\prime } } = {{e^x}\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - 1}}{{\Delta x}}.} \] Обозначим полученный предел через \(L\) и вычислим его отдельно. Заметим попутно, что \({e^0} = 1\) и, поэтому, можно записать \[ {L = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - {e^0}}}{{\Delta x}} = e"\left(0 \right),} \] то есть данный предел представляет собой значение производной показательной функции в нуле. Следовательно, \ Мы получили соотношение, в котором искомая производная выражается через саму функцию \(y = {e^x}\) и ее производную в точке \(x = 0\). Докажем, что \ Для этого вспомним, что число \(e\) определяется в виде бесконечного предела как \ а число \(e\) в степени \(\Delta x\) будет, соответственно, равно \[{e^{\Delta x}} = \lim\limits_{n \to \infty } {\left({1 + \frac{{\Delta x}}{n}} \right)^n}.\] Далее применим знаменитую формулу бинома Ньютона и разложим выражение под знаком предела в биномиальный ряд : \[{\left({1 + \frac{{\Delta x}}{n}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} .\] Здесь \({C_n^k}\) обозначает число сочетаний из \(n\) элементов по \(k\). В европейских и американских учебниках число сочетаний обозначается как \ Вернемся к нашему пределу \(L\), который теперь можно записать в таком виде: \[ {L = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{{e^{\Delta x}} - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] - 1}}{{\Delta x}}.} \] Нам удобно в биномиальном ряде выделить первые два слагаемых: при \(k = 0\) и \(k = 1\). В результате получаем \[ {L = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {C_n^0{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^0} + C_n^1{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^1} + \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\lim\limits_{n \to \infty } \left[ {1 + n \cdot \frac{{\Delta x}}{n} + \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] - 1}}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x + \lim\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} }}{{\Delta x}} } = {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {1 + \frac{1}{{\Delta x}}\lim\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k{{\left({\frac{{\Delta x}}{n}} \right)}^k}} } \right] } = {1 + \lim\limits_{n \to \infty } \left[ {\lim\limits_{\Delta x \to 0} \left({\sum\limits_{k = 2}^n {C_n^k\frac{{{{\left({\Delta x} \right)}^{k - 1}}}}{{{n^k}}}} } \right)} \right].} \] Очевидно, что сумма ряда стремится к нулю при \(\Delta x \to 0\). Поэтому, \(L = 1\). Это означает, что производная экспоненциальной функции \(y = {e^x}\) равна самой функции: \